En géométrie complexe, on distingue trois grandes classes de variétés selon le signe ou l'annulation de leur courbure (ou dans le cadre algébrique, selon l'amplitude ou la trivialité de leur fibré canonique ou anticanonique). Parmi les variétés à fibré canonique trivial, celles qui sont dites hyperkählériennes (ou symplectiques holomorphes) constituent la classe la moins bien comprise, notamment parce que les exemples font cruellement défaut. Or des liens assez subtils ont été découverts entre certaines variétés hyperkählériennes et certaines variétés de Fano (à courbure négative, ou fibré anticanonique ample), dont la géométrie est a priori plus accessible.
L'objectif du projet est d'étendre et d'approfondir ces liens, et cela, à différents niveaux. D'abord au niveau géométrique, via l'étude d'autres séries de variétés de Fano dites de type K3, qui sont susceptibles d'être liées à d'autres variétés hyperkählériennes : conjecturalement, ces dernières devraient pouvoir se construire comme espaces de cycles sur les premières, ou comme espaces de modules d'objets dans la catégorie dérivée. Ensuite au niveau catégorique : il arrive que la catégorie dérivée d'une variété de Fano contienne une sous catégorie privilégiée qui se comporte comme, et soit parfois équivalente à, la catégorie dérivée d'une variété hyperkählérienne (ou de Calabi-Yau). Ces phénomènes sont souvent conséquences de la dualité projective homologique, que nous nous proposons de mettre en oeuvre dans de nouveaux contextes. Les liens avec la cohomologie quantique seront également à explorer. Enfin au niveau de la cohomologie et des cycles algébriques: on conjecture que les anneaux de Chow des variétés hyperkählériennes possèdent un certain nombre de propriétés remarquables, que nous souhaitons comprendre en lien avec les cycles des variétés de Fano associées, quand elles existent.
In complex geometry, one distinguishes three large classes of varieties, according to the sign or to the vanishing of their curvature (in the algebraic setting, according to the ampleness or triviality of their canonical bundle). Among the varieties with trivial canonical bundle, those that are called hyperKähler (or holomorphic symplectic) are the less understood, especially because of the lack of concrete examples. Nevertheless, some subtle relationships have been discovered between certain hyperKähler varieties and certain Fano manifolds (which have negative curvature, or ample anticanonical bundle), whose geometry is a priori more accessible.
The main goal of the project is to expand and explore those relationships, at several levels. First at the geometric level, through the study of other series of Fano manifolds of so-called K3 type, which are likely to be related to other hyperKähler varieties: conjecturally, the latter should be moduli spaces of cycles on the former, or moduli spaces of objects in their derived categories. Second, at the categorical level: it can happen that the derived category of a Fano manifold contains a special subcategory that behaves like, and is sometimes equivalent to, the derived category of a hyperKähler (or Calabi-Yau) variety. Such phenomena are often consequences of Homological Projective Duality, that we intend to enforce in some new contexts. In this setting, the links with quantum cohomology are also to be explored. Third, at the level of cohomology and algebraic cycles: the Chow rings of hyperKähler varieties are conjectured to admit a number of remarkable properties that we intend to understand better in relation with the cycles of the associated Fano manifolds, when they exist.